经典场论

连续介质动力学

从离散到连续

  考虑无限长的橡皮筋的纵向振动。首先离散处理，认为其由间隔为 $a$、质量为 $m$ 的质量点以弹性系数为 $k$ 的轻弹簧连接而组成。设第 $i$ 个质量点相对平衡位置的偏离为 $\eta_i$，则拉格朗日量写作：

$$L = \sum_i \bigg[\frac{1}{2}m \dot{\eta}_i^2 - \frac{1}{2}k(\eta_{i+1} - \eta_i)^2\bigg] = \sum_i a L_i$$

其中

$$L_i = \frac{1}{2} \bigg(\frac{m}{a}\bigg) \dot{\eta}_i^2 - \frac{1}{2}ka\bigg(\frac{\eta_{i+1} - \eta_i}{a}\bigg)^2$$

之所以使用如上的分离，是因为可以认为 $ka$ 是杨氏模量 $\gamma$（根据胡克定理 $F = \gamma \xi$，$\xi$ 是延长量除以单位长度，这里取单位长度为 $a$ ）。

然后使用平衡位置，而不是指标 $i$ 来重新描述离散系统：

$$i \rightarrow x, \quad \eta_i \rightarrow \eta(x), \quad \eta_{i+1} \rightarrow \eta(x+a)$$

取连续极限：

$$\frac{\eta_{i+1} - \eta_i}{a} \rightarrow \frac{\eta(x+a) - \eta(x)} {a} = \frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}x}, \quad a\sum_i \rightarrow \int dx, \quad \frac{m}{a} \rightarrow \mu$$

则连续情形的拉格朗日量写作：

$$L = \int dx \bigg[\frac{1}{2}\mu \dot{\eta}^2 - \frac{1}{2}\gamma\bigg(\frac{\partial \eta}{\partial x}\bigg)^2\bigg]$$

如此，对于离散情形的欧拉-拉格朗日方程：

$$m\ddot{\eta}_i - k(\eta_{i+1} - \eta_i) + k(\eta_{i} - \eta_{i-1}) = 0$$

则有连续情形：

$$a\mu \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} - a\gamma \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} = 0$$

它是一个传播速度为 $\sqrt{\gamma/\mu}$ 的波动方程。下面我们来考虑直接从连续情形拉格朗日量得到它。

连续情形的最小作用量原理

我们需要为连续情形定义拉格朗日密度 $h$。对于作用量 $I$：

$$I[\eta] = \int h(\eta, \partial\eta/\partial x, \dot{\eta}, x, t) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}t$$

这表明 $I$ 是 $\eta$ 的泛函。