连续介质动力学

从离散到连续

  考虑无限长的橡皮筋的纵向振动。首先离散处理，认为其由间隔为 aa、质量为 mm 的质量点以弹性系数为 kk 的轻弹簧连接而组成。设第 ii 个质量点相对平衡位置的偏离为 ηi\eta_i，则拉格朗日量写作：

L=∑i[12mη˙i2−12k(ηi+1−ηi)2]=∑iaLiL = \sum_i \bigg[\frac{1}{2}m \dot{\eta}_i^2 - \frac{1}{2}k(\eta_{i+1} - \eta_i)^2\bigg] = \sum_i a L_i

其中

Li=12(ma)η˙i2−12ka(ηi+1−ηia)2L_i = \frac{1}{2} \bigg(\frac{m}{a}\bigg) \dot{\eta}_i^2 - \frac{1}{2}ka\bigg(\frac{\eta_{i+1} - \eta_i}{a}\bigg)^2

之所以使用如上的分离，是因为可以认为 kaka 是杨氏模量 γ\gamma（根据胡克定理 F=γξF = \gamma \xi，ξ\xi 是延长量除以单位长度，这里取单位长度为 aa ）。

然后使用平衡位置，而不是指标 ii 来重新描述离散系统：

i→x,ηi→η(x),ηi+1→η(x+a)i \rightarrow x, \quad \eta_i \rightarrow \eta(x), \quad \eta_{i+1} \rightarrow \eta(x+a)

注意，这里的 xx 只是指定了每一个质量点的平衡位置，并不是有动力学意义坐标；而 η\eta 是质量点对平衡位置的偏移，它是动力学坐标。现在取下面的连续极限：

ηi+1−ηia→η(x+a)−η(x)a=∂η∂x,a∑i→∫dx,ma→μ\frac{\eta_{i+1} - \eta_i}{a} \rightarrow \frac{\eta(x+a) - \eta(x)} {a} = \frac{\partial\eta}{\partial x}, \quad a\sum_i \rightarrow \int dx, \quad \frac{m}{a} \rightarrow \mu

则连续情形的拉格朗日量写作：

L=∫dx[12μ(∂η∂t)2−12γ(∂η∂x)2]L = \int dx \bigg[\frac{1}{2}\mu \bigg(\frac{\partial \eta}{\partial t}\bigg)^2 - \frac{1}{2}\gamma\bigg(\frac{\partial \eta}{\partial x}\bigg)^2\bigg]

导数和积分是对所有的平衡位置 xx，也只能对 xx。如此，对于离散情形的欧拉-拉格朗日方程：

mη¨i−k(ηi+1−ηi)+k(ηi−ηi−1)=0m\ddot{\eta}_i - k(\eta_{i+1} - \eta_i) + k(\eta_{i} - \eta_{i-1}) = 0

则有连续情形：

aμ∂2η∂t2−aγ∂2η∂x2=0a\mu \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} - a\gamma \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} = 0

离散情形时耦合常微分方程组，现在成为了一个偏微分方程，它是一个传播速度为 γ/μ\sqrt{\gamma/\mu} 的波动方程。

下面我们来考虑直接从连续情形拉格朗日量得到它。

连续情形的最小作用量原理

我们需要为连续情形定义拉格朗日密度 hh。对于作用量 II：

I[η]=∫t1t2∫x1x2h(η,∂η/∂x,∂η/∂t,x,t) dxdtI[\eta] = \int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2} h(\eta, \partial\eta/\partial x, \partial\eta/\partial t, x, t) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}t

这表明 II 是 η\eta 的泛函。我们希望用变分原理让这个泛函取极值，此时有两个变量：xx 和 tt，所以令 ∀x, δη(x,t1)=δη(x,t2)=0\forall x,\, \delta\eta(x, t_1) = \delta\eta(x, t_2) = 0，同时 ∀t, δη(x1,t)=δη(x2,t)=0\forall t, \,\delta\eta(x_1, t) = \delta\eta(x_2, t) = 0，经过同样的分部积分后：

δI=∫[∂h∂ηδη−∂∂x[∂h∂(∂η/∂x)]δη−∂∂t[∂h∂(∂η/∂t)]δη] dxdt=0\delta I = \int \bigg[ \frac{\partial h}{\partial \eta} \delta \eta - \frac{\partial}{\partial x}\bigg[\frac{\partial h}{\partial (\partial \eta / \partial x)}\bigg] \delta \eta - \frac{\partial}{\partial t}\bigg[\frac{\partial h}{\partial (\partial \eta / \partial t)}\bigg]\delta \eta \bigg] \, \mathrm{d}x\mathrm{d}t = 0

上式需要对所有的 δη\delta \eta 成立，故有连续情形的欧拉-拉格朗日方程成立：

∂∂t[∂h∂(∂η/∂t)]+∂∂x[∂h∂(∂η/∂x)]−∂h∂η=0\frac{\partial}{\partial t}\bigg[\frac{\partial h}{\partial (\partial \eta / \partial t)}\bigg] + \frac{\partial}{\partial x}\bigg[\frac{\partial h}{\partial (\partial \eta / \partial x)}\bigg] - \frac{\partial h}{\partial \eta} = 0

由于橡皮筋的拉格朗日密度为

h=12μ(∂η∂t)2−12γ(∂η∂x)2h = \frac{1}{2}\mu \bigg(\frac{\partial \eta}{\partial t}\bigg)^2 - \frac{1}{2}\gamma\bigg(\frac{\partial \eta}{\partial x}\bigg)^2

故同样得到波动方程。

三维情形

首先将时间空间收在一起，这有助于向相对论推广：

t,x  →  xμ,μ=0,1,2,3;η  →  ηρt, x \; \rightarrow\; x^\mu, \mu = 0,1,2,3; \quad \eta \; \rightarrow \; \eta^\rho

此时拉格朗日密度和作用量则写作：

h=h(ηρ,∂νηρ,xν),  I=∫h d4xh = h(\eta^\rho, \partial_\nu\eta^\rho, x^\nu),\; I = \int h\,\mathrm{d}^4x

此时进行变分：

δI=∫[∂h∂ηρδηρ+∂h∂(∂νηρ)∂(∂νηρ)∂ν(δηρ)] d4x=0\delta I = \int \bigg[ \frac{\partial h}{\partial \eta^\rho} \delta \eta^\rho + \frac{\partial h}{\partial (\partial_\nu \eta^\rho)}\frac{ \partial (\partial_\nu \eta^\rho)}{\partial_\nu (\delta \eta^\rho)}\bigg] \, \mathrm{d}^4x = 0

如果动力学系统的拉格朗日量不显式依赖于时间，则总能量守恒，证明对连续情形同样成立？