相空间里的线性响应

  我们首先发展相空间哈密顿力学的线性响应理论。设想在 t⩽0t\leqslant 0 时刻，系统由初始哈密顿量 H0=H(x,p)H_0 = H(x, p) 控制演化，在 t>0t > 0 后增加 ϵ⋅α(t)A(x)\epsilon \cdot \alpha(t) A(x)，其中 ϵ\epsilon 代表摄动幅度，是小量：

H={H0(x,p)t⩽0H0(x,p)+ϵ⋅α(t)A(x)t>0 H = \begin{cases} & H_0(x, p) & t\leqslant 0\\ & H_0(x, p) + \epsilon \cdot \alpha(t) A(x) \quad & t>0 \end{cases}

我们希望解决的问题是：在 t=0t = 0 时刻启动对系统的微扰，请问另一物理量 B(x,p)B(x, p) 的平均值 ⟨B(x,p)⟩t>0\langle B(x, p) \rangle_{t>0} 会有什么样的变化。此时，我们对这种外加扰动有两个假设：第一，它是时间-空间变量分离的；第二：它通过一个仅与位置相关的物理量 A(x)A(x) 与系统进行相互作用（想象交变电流在两块极板之间形成的交变电场）。此外，我们设定 BB 的平衡平均值 ⟨B(x,p)⟩eq=0\langle B(x, p)\rangle_{eq} = 0。

  即使在平衡时，物理量本身也有涨落。那么请问：当一个物理量出现对系综平均的偏离时，如何确定这种偏离是自发涨落导致的，还是外界扰动导致的，特别是在已知这种扰动非常小的情况下？

  不得不承认，我们无法区分，只能认为微扰后的系统服从和平衡系统同样的动力学。这就是 涨落-响应的不可分辨性。它是 Onsager 假说的关键。

  如果响应是一种涨落，那么响应将会随着关联函数一同衰减，一段时间后又会回到平衡状态；如果涨落是一种响应，那么共振效应将允许我们在自发涨落的某个频率激发突出的涨落。这就是即将在下文展开的 线性响应理论，它表明：我们可以通过研究平衡涨落确定系统对微扰的响应和弛豫。

静态弛豫过程

静态弛豫是一个理解涨落-响应不可分辨的绝佳例子。考虑下面的过程：系统的势能在 t=0t = 0 的瞬间变化：

H(x,p,t)={H0−ϵxt⩽0H0t>0 H(x, p,t) = \begin{cases} & H_0 - \epsilon x \quad & t\leqslant 0\\ & H_0 & t>0 \end{cases}

所以在 t=0t = 0 时刻，系统的概率密度分布为：

f(x,0)=1Zϵe−β[H0−ϵx] f(x, 0) = \frac{1}{Z_\epsilon}e^{-\beta [H_0 - \epsilon x]}

忽略动量部分，位置 xx 在时刻 t>0t>0 的系综平均 ⟨x⟩t\langle x \rangle_t 可以写作

⟨x⟩t=∫dx⋅xf(x,t)=∫dx⋅x∫dx′K(x,t∣x′,0)⋅1Zϵe−βV0(x′)eβϵx′=∫dx⋅x∫dx′K(x,t∣x′,0)⋅π(x′)(1+βϵx′)\begin{aligned} \langle x \rangle_t &= \int dx \cdot xf(x, t)\\ &= \int dx \cdot x\int dx' K (x, t | x', 0) \cdot \frac{1}{Z_\epsilon}e^{-\beta V_0(x')} e^{\beta \epsilon x'} \\ &= \int dx \cdot x\int dx' K (x, t | x', 0) \cdot \pi(x') (1 + \beta\epsilon x') \end{aligned}

其中 K(x,t∣x′,0)K (x, t | x', 0) 是弛豫目标的分布演化核函数。我们假设 ⟨x⟩eq=0\langle x \rangle_{eq} = 0，所以最后一项括号里的 11 积分后为 00，剩下的是：

⟨x⟩t=βϵ∫dx∫dx′⋅x⋅K(x,t∣x′,0)⋅π(x′)x′=βϵ⟨x0,xt⟩eq \langle x \rangle_t = \beta\epsilon \int dx \int dx' \cdot x\cdot K (x, t | x', 0) \cdot \pi(x') x' = \beta\epsilon \big\langle x_0, x_t \big\rangle_{eq}

可见，物理量 xx 在 tt 时间后的平均值等于扰动后的自关联函数 Cx(t)=⟨x0,xt⟩eqC_x(t) = \langle x_0, x_t \rangle_{eq} 在此时的值，但自关联函数描述的是平衡状态，所以这个等式联系了平衡态和平衡态附近的行为。

“响应”表示系统对某平衡态的偏离，“弛豫”表示系统对某平衡态的趋近。在这个例子中，如果以末态为参照，它是一种弛豫；如果以初态为参照，它是一种响应。